In this course we shall explore the basic definitions and properties of axiomatic systems. After considering sentential logic, where one has an algorithm for deciding what is valid, we shall develop the ideas underlying Gödel's Completeness Theorem for first-order logic, which implies that there is an algorithm for enumerating the valid sentences. We shall also explore Gödel's famous Incompleteness Theorem, which excludes the possibility of giving a complete set of axioms for arithmetic, or of providing an algorithm for testing which statements of arithmetic are true. We will then turn to axiomatic set theory, which provides for an excellent foundation for mathematics. If time permits, we shall give some idea of how Gödel demonstrated the consistency of the axiom of choice and the continuum hypothesis with the usual set-theoretical axioms.

In this course we shall begin with the basic concepts of recursion theory, including a discussion of the Turing Degrees of recursively enumerable (RE) sets. We present a solution to Post's Problem, by constructing an RE set whose Turing degree is strictly between the smallest and largest possible Turing degrees of an RE set. We next turn to proof theory, where we consider the provability interpretation of modal logic. We prove a theorem of Solovay which provides a complete set of axioms for the notion of provability. The remainder of the course will be devoted to axiomatic set theory. We shall demonstrate the consistency of the axiom of choice and of the continuum hypothesis. If time permits, we shall also consider some results in combinatorial set theory.

Die Forcing-Methode wurde von Paul Cohen in den 60er Jahren gefunden, um die Unabhängigkeit der Cantorschen Kontinuumshypothese CH von den Axiomen der Mengenlehre zu zeigen. Seitdem hat sich das Forcing zu einem der zentralen Instrumente der modernen Mengenlehre entwickelt und ist daraus nicht mehr wegzudenken.

Wir werden die Forcing-Methode systematisch und anhand von Beispielen kennenlernen. Wir wollen Cohens Beweis sehen, wonach CH unabhängig ist. Wir wollen auch zeigen, dass das Auswahlaxiom von den übrigen Axiomen unabhängig ist. Schließ;lich wollen wir sogennante "Forcing-Axiome" kennenlernen, die interessante Konsequenzen besitzen.

Wir bieten einen Grundkurs aus Beweistheorie, der als Ausgangspunkt für ein weiteres Studium sowohl theoretischen (Anwendungen in Zahlentheorie, Algebraischen Geometrie und Kombinatorik) als auch praktischen (logische Programmierung) Aspekten dienen kann. Es werden Grundkenntnisse der Mathematischen Logik vorausgesetzt. Der Höhepunkt wären der Schnitteliminationssatz von Getzen, Satz von Herbrandt und deren Anwendungen. Nach Wunsch können weitere Themen behandelt werden, z.B. Gentzens Konsistenzbeweis der Peano-Arithmetik. Das Tempo und Themenauswahl werden dem Kreis der Interessierten angepasst.

Überblicksvorlesung über die wichtigsten nichtklassischen Logiken: Mehrwertige, intuitionistische, minimale, intermediäre (superintuitionistische), substrukturale (relevante, BCK, BCI, Lambek-Kalkül, lineare), Quanten-, parakonsistente, Fuzzy-, nonmonotone Logiken. Umfangreiche Literaturangaben sollen zu weiterem Studium anregen.