Diese Vorlesung führt in die grundlegenden Ideen der modernen mathematischen Logik ein. Wir werden die Logik erster Stufe betrachten, die als Rahmen für die gesamte Mathematik angesehen werden kann. Wir beweisen Gödels Vollständigkeitssatz, der besagt, dass alle wahren Aussagen der Logik (und damit z.B. auch alle Theoreme der Zahlentheorie) durch einen Computer aufgelistet werden können. Außerdem behandeln wir Gödels Unvollständigkeitssatz, der impliziert, dass kein Computer allgemein entscheiden kann, welche Aussagen der Mathematik wahr und welche falsch sind. Es werden keinerlei logische Vorkenntnisse vorausgesetzt.

Erforderliche Vorkenntnisse: keine. Zeugnis durch schriftliche Prüfung. Literatur: Ein Skript wird nach und nach in der Vorlesung verteilt.

Begleitveranstaltung zur obigen Vorlesung. Zeugnis durch Vorrechnen an der Tafel bzw. schriftliche Prüfung.

Wir vertiefen unsere Bekanntschaft mit Gödels Konstruktiblem Universum L und zeigen, dass in L die Verallgemeinerte Kontinuumshypothese gilt. Wir werden sodann Jensens Überdeckungssatz für L mit einfachen Methoden beweisen. Der Überdeckungssatz sagt, dass L eine gute Approximation an das mengentheoretische Universum ist, falls es keine grossen Kardinalzahlen gibt.

Erforderliche Vorkenntnisse: Axiomatische Mengenlehre I Zeugnis durch mündliche Prüfung.

Diese Vorlesung beginnt mit Ergebnissen zu abzählbaren Modellen abzählbarer Theorien. Wir beweisen den Satz von Vaught, der besagt, dass keine vollständige, abzählbare Theorie genau zwei abzählbare Modelle hat. Im Anschluss führen wir die Beweistheorie ein. Wir studieren die Schnitt-Elimination und beweisen den Satz von Paris-Harrington, der ein schönes Beispiel einer in der Arithmetik unentscheidbaren Aussage liefert. Als nächstes betrachten wir die Komplexität von Berechnungen und diskutieren die berühmte Hypothese P=NP. Der Rest der Vorlesung beschäftigt sich mit der axiomatischen Mengentheorie.

Begleitveranstaltung zur Vorlesung von Prof. Friedman. Zeugnis durch mündliche Prüfung.

In dieser Vorlesung werden die Themen Mengenforcing, Klassenforcing und deskriptive Mengenlehre behandelt.

We introduce the Gentzen sequent calculus as an alternative to the Hilbert-Bernays style first order logic. And prove cut elimination for this calculus. The main goal of the course however is an ordinal analysis of Peano Arithmetic. This shows that the consistency of PA is equivalent to transfinite induction up to the ordinal ε₀. From this analysis one can characterize the provably recursive functions as those majorized by the Hardy hierarchy. Finally we show that the Paris-Harrington theorem, Goodsteins theorem and Hercules and the Hydra are independent of PA. If time remains other examples of ordinal analysis with higher ordinals will be studied.

Überblicksvorlesung über die wichtigsten nichtklassischen Logiken: Mehrwertige, intuitionistische, minimale, intermediäre (superintuitionistische), substrukturale (relevante, BCK, BCI, Lambek-Kalkül, lineare), Quanten-, parakonsistente, Fuzzy-, nonmonotone Logiken. Umfangreiche Literaturangaben sollen zu weiterem Studium anregen.